Это может показаться нелогичным, например, как размер выборки может быть бесконечным?
Но давайте вспомним классическое применение распределения Пуассона — моделирование вероятности заданного количества событий, происходящих в фиксированный интервал времени.
Чтобы лучше понять это на примере, рассмотрим вероятность того, что заданное количество автобусов прибудет на станцию в час.
Теперь, если посмотреть на это с точки зрения биномиального распределения, мы могли бы разделить этот час на шестьдесят испытаний Бернулли. Каждое испытание моделирует вероятность прибытия одного автобуса в конкретную минуту.
Проблема с этим подходом заключается в том, что он просто ограничивает количество автобусов, которые могут прибыть в любую минуту, до одного. В реальном мире не исключено, что несколько автобусов могут прибыть друг к другу в течение минуты.
Мы могли бы увеличить степень детализации, выбрав 3600 испытаний Бернулли вместо 60. Это означало бы, что мы перешли от рассмотрения минутных интервалов к секундам, и теперь у нашей проблемы может быть приемлемое решение.
Но рассмотрим случаи, когда в течение секунды может произойти более одного события, и станет ясно, что нам придется пойти еще более гранулярно, что приводит к тому, что количество следов (n) снова увеличивается.
Мы продолжаем увеличивать эту степень детализации, чтобы достичь подинтервала, в котором события могут произойти только один раз. Тогда значение n увеличится до такой степени, что приблизится к бесконечности.
Следовательно, мы могли бы применить ограничение, при котором n стремится к бесконечности, для функции распределения вероятностей (PDF) биномиального распределения, и мы получили бы PDF распределения Пуассона. Это доказывает, что Пуассон является расширенным случаем бинома, когда количество испытаний велико (или большой размер выборки).
Другое ключевое отличие распределения Пуассона состоит в том, что оно предполагает, что события независимы с постоянной скоростью возникновения.
Давайте приравняем эту постоянную скорость (известную как «λ») к ожидаемому значению случайной величины, если бы это было биномиальное распределение.
Ожидаемое значение случайной величины в биномиальном распределении = количество испытаний (n) * вероятность успеха в каждом испытании (p).
Следовательно, λ = n * p
Поскольку λ постоянно, а n приближается к бесконечности, p становится очень низким и приближается к нулю.
Следовательно, мы могли бы использовать распределение Пуассона для моделирования редких событий с низким уровнем успеха, таких как люди, читающие мои статьи и аплодирующие им.
